CONSTRUINDO O TRIÂNGULO HIPERBÓLICO NO SOFTWARE GEOGEBRA: UMA EXPERIÊNCIA COM FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Guilherme Fernando Ribeiro - Luciano Ferreira - Talita Secorun dos Santos
[email protected] - [email protected] - [email protected]
Universidade Estadual do Paraná Campus de Campo Mourão - Universidade Estadual
de Maringá - Universidade Estadual do Paraná Campus de Campo Mourão - Brasil
Modalidade: Comunicação Nível: Formação e atualização docente Palavras chave: Geometria Euclidiana, Geometria não-euclidiana, Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Resumo Neste trabalho relatamos uma experiência desenvolvida com alunos do 3º ano do curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão (FECILCAM), da cidade de Campo Mourão, Paraná, Brasil. O objetivo principal desse trabalho foi analisar como acadêmicos de matemática aceitariam a ideia da soma dos ângulos internos de um H_Triângulo da Geometria Hiperbólica ser menor que 180º, ao construírem tal triângulo com o software GeoGebra e compará-lo com o triângulo Euclidiano. Este texto integra um trabalho maior que visa elaborar e aplicar atividades acerca do conteúdo de Geometria Hiperbólica na formação inicial de professores de matemática, utilizando o GeoGebra. Neste artigo, iremos descrever brevemente as 14 atividades aplicadas aos acadêmicos e apresentaremos as análises da construção da 14ª atividade que trata da construção do H_Triângulo. Para este trabalho, analisamos como os alunos passaram a pensar sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo, com base na construção do H_Triângulo no GeoGebra. A ideia de estudar a Geometria Hiperbólica surge após o contéudo de geometria não-euclidiana ser incluso no Currículo da Educação Básica por meio das DCE, Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica, no final de 2006. Introdução
No final do ano de 2006 foi divulgada no Estado do Paraná as Diretrizes Curriculares de
Matemática para a Educação Básica (DCE), que trouxe no item Conteúdo Estruturante
Geometria o tema Tópico Geometrias não-euclidianas.
No entanto, a inclusão deste tema torna-se questionável ao considerarmos as reais
condições para o desenvolvimento desse conteúdo em sala de aula. Primeiramente,
conforme aponta Santos (2009), grande parte dos professores da Educação Básica
apresentam dificuldades com a própria Geometria Euclidiana e desconhecem as
A falta de preparo dos professores para trabalhar com as Geometrias não-euclidianas
também foi denunciada por Caldatto (2011), que aponta para a falta de materiais de
apoio para que os professores possam trabalhar com o tema e a falta de tempo para
abordar todos os conteúdos trazidos pelas DCE.
Segundo Lovis (2009), Bonete (2000), Cabariti (2004), Santalo (2006) e Santos (2009),
parte significativa dos professores de matemática que atuam na Rede Estadual de
Ensino do Paraná não possuem o conhecimento necessário para trabalhar com a
Geometria não-euclidiana. Esses pesquisadores afirmam que as dificuldades do
professor em ensinar/trabalhar com a Geometria não-euclidiana acontece devido a falta
de conhecimento do assunto e de formação necessária.
Considerando toda essa problemática, surgiu a ideia desta pesquisa. Baseados na
pesquisa de Ferreira (2011), elaboramos atividades sobre Geometria Hiperbólica,
utilizando o software GeoGebra, e aplicamos em uma turma de formação inicial em
A importância de se trabalhar a Geometria Hiperbólica no Ensino Médio é ressaltada
pelas DCE. Tal documento aponta que o estudo das noções de Geometrias não-
euclidianas aprofunda-se ao abordar a Geometria dos Fractais, Geometria Hiperbólica e
Neste trabalho, iremos descrever 14 atividades aplicadas aos acadêmicos de matemática
e apresentar as análises da 14ª Atividade: Construindo o H_Triângulo. Baseados nas
DCE, elaboramos a 14ª Atividade que tinha como objetivo principal fazer um
comparativo com a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria Euclidiana
e na Geometria Hiperbólica. Nesse trabalho, pretendíamos investigar como os
acadêmicos aceitariam que ao construir o H_Triângulo a soma dos ângulos internos não
Metodologia
A aplicação das atividades foi realizada na cidade de Campo Mourão, no Estado do
Paraná, na Universidade Estadual do Paraná - Campus de Campo Mourão
(UNESPAR/FECILCAM), no ano de 2011. Os sujeitos participantes da pesquisa foram
16 alunos do 3º ano do curso de Licenciatura de Matemática da
UNESPAR/FECILCAM. Na apresentação da História da Geometria, utilizamos 4 aulas
de 50 minutos cada. Já na aplicação das atividades, foram utilizadas 12 aulas de 50
Foi solicitado que cada aluno trouxesse seu próprio notebook com o software GeoGebra
instalado. Os pesquisadores realizaram uma explicação acerca da História da Geometria,
fazendo uma breve “viagem” histórica desde a construção da Geometria Euclidiana até
o surgimento das Geometrias não-euclidianas. Foram apresentadas brevemente a
Geometria Elíptica, a Geometria dos Fractais, a Geometria Topológica, a Geometria
Projetiva e, por fim, a Geometria Hiperbólica.
Como forma de familiarização do sujeito com o software GeoGebra, foram aplicadas
cinco atividades iniciais. A 1ª Atividade tratava da representação do primeiro postulado
de Euclides que diz que: Para todo ponto A e todo ponto B diferente de A, existe uma
única reta a que passa por A e B. A 2ª Atividade tratava do segundo postulado de
Euclides, que diz que: Um segmento retilíneo pode sempre ser prolongado. Já a 3ª
Atividade era a representação do terceiro postulado de Euclides, que diz que: Existe
uma única circunferência com centro e raio dado. Para a 4ª Atividade, ficou a
representação do quarto postulado de Euclides: Todos os ângulos retos são iguais. Na 5ª
Atividade, sugerimos a representação do quinto postulado de Euclides: Se uma reta c
corta duas outras retas a e b (no mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos
interiores (α e β) de um mesmo lado de c é menor que dois retos, então a e b, quando
prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de c. A Figura 1, trata da
ilustração do quinto postulado de Euclides.
Figura 1 – Quinto postulado de Euclides
Baseado em Ferreira (2011), os sujeitos participantes da pesquisa construíram as
ferramentas necessárias para a elaboração do Plano de Poincaré. A 6ª Atividade tratou
da construção da ferramenta H_Reta. A 7ª Atividade ficou com o título Testando a
ferramenta H_Reta. A 8ª Atividade trazia a construção da ferramenta H_Segmento. A 9ª
Atividade era denominada Testando a ferramenta H_Segmento. A 10ª Atividade foi a
construção da ferramenta H_Distância. E, por fim, a 11ª Atividade ficou intitulada como
Testando a ferramenta H_Distância. As construções de macro ferramentas e seus
respectivos testes de funcionamento foram necessários para a construção do modelo do
Plano de Poincaré. Essa etapa exigiu dos sujeitos muita atenção, sendo utilizadas duas
aulas para as construções dessas ferramentas e seus respectivos testes.
A 12ª Atividade tratou da construção do axioma hiperbólico. O Axioma Hiperbólico,
segundo Greenberg (1973, p.148), diz que: “Na Geometria Hiperbólica existe uma reta l
e um ponto P, não pertencente a l, tal que existe pelo menos duas retas que passam por
P e são paralelas a reta l”. A 13ª Atividade tratou da comprovação desse Axioma
Hiperbólico. Essas duas atividades foram as que os sujeitos mais sentiram dificuldades.
A 14ª Atividade, que tinha como nome Construindo o H_Triângulo, teve como objetivo
propor um comparativo com a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria
Euclidiana e na Geometria Hiperbólica. Existe um teorema da Geometria Euclidiana
que trata acerca da soma dos ângulos internos de triângulos: “A soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo ABC é igual a 180 graus”. Essa atividade visava
mostrar aos acadêmicos que tal teorema não é válido na Geometria Hiperbólica.
Nesse trabalho, iremos analisar/investigar como e se os alunos aceitaram a 14ª
Atividade: Construindo o H_Triângulo, ou seja, se eles aceitaram que ao construir o
H_Triângulo a soma dos ângulos internos não é 180º.
Para a análise dos dados coletados, codificamos os participantes da pesquisa. Como o
número de participante foi um total de 16, temos então os participantes codificados de 1
a 16, ou seja, A.1 (aluno um) para as respostas do primeiro participante, A.2 (aluno
dois) para o segundo participantes,., A.16 (aluno dezesseis). Essa codificação foi
realizada de maneira aleatória. Vale lembrar que cada participante teve a mesma
Analisando a atividade H_Triângulo
Nessa atividade, pretendíamos que os alunos fizessem uma comparação com a soma dos
ângulos interno de um triângulo na Geometria Euclidiana e na Geometria Hiperbólica. E
a partir daí, passassem a aceitar a existência de uma Geometria não-euclidiana que
possibilita que a soma dos ângulos internos de um triângulo seja menor que 180º.
Esperávamos encontrar uma resistência natural em aceitar o H_Triângulo, já que a
Geometria Euclidiana é posta na escola como uma verdade única e incontestável. No
entanto, esperávamos também que a utilização do software facilitasse a aceitação de tal
fato pelos sujeitos participantes da pesquisa.
Durante a apresentação da parte histórica e dos modelos da Geometria Hiperbólica,
houve uma resistência dos alunos no sentido de aceitar um triângulo cuja a soma fosse
menor que 180º. Para nós o uso do software poderia contribuir para o entendimento e
Ao entregar a décima quarta atividade aos alunos e expor o que seria realizado,
solicitamos que ao término desta atividade os alunos salvassem o arquivo com o nome
“14ª Atividade – Construindo o H_Triângulo”. Nessa atividade, os alunos tiveram a
oportunidade de calcular qual a soma dos ângulos internos de um triângulo na
Geometria Euclidiana e um H_Triângulo na Geometria Hiperbólica. O software
GeoGebra possibilitou que eles pudessem movimentar as figuras e comparar os
Não estipulamos um tempo máximo para realização, visto que cada acadêmico
participante já tinha constituído certa habilidade em relação ao software GeoGebra, no
Ao término da 14ª Atividade – Construindo o H_Triângulo, os alunos se depararam com
a seguinte questão dada em um questionário: No H_Triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º? E no triângulo euclidiano? Como você explica esse acontecimento? A Tabela 1 indica a análise da questão indagada na Construção do
Buscamos relacionar o número de alunos que chegaram a basicamente uma mesma
resposta. Em seguida, foi realizada a classificação das respostas, de acordo com suas
especificidades. Na Tabela 1 apresentam-se também alguns excertos de respostas dadas
pelos sujeitos. Por fim, na última coluna têm-se os comentários.
Tabela 1 - Análise da questão da Construção do H_Triângulo
1 – No H_Triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º? E no triângulo
euclidiano? Como você explica esse acontecimento?
Respostas dos Excertos de Justificativa dada alunos de acordo respostas dadas Comentários pelos acadêmicos com a codificação pelos sujeitos interno é menor que aceitar a existência
Mesmo os alunos estando familiarizados com o software GeoGebra, eles apresentaram
dificuldade para realizar a 14º atividade. Alguns alunos se mostravam atentos e
motivados, já outros demonstravam certo desinteresse.
Todos os participantes precisaram de ajuda, solicitando aos pesquisadores
esclarecimentos acerca de suas dúvidas, algumas referentes à construção, outras
referentes às teorias que envolviam a construção. O objetivo dessa atividade era
construir um H_Triângulo e verificar a sua soma dos ângulos internos, bem como fazer
o comparativo com o triângulo euclidiano. Para a construção do H_Triângulo, os
acadêmicos utilizaram ferramentas do software e conceitoscomo eixo, ponto, círculo,
reta tangente, segmento definido por dois pontos, ângulos e vértices. Isso mostra que, ao
se trabalhar com as Geometrias não-euclidianas, é necessário um sólido conhecimento
Essas ferramentas e esses conceitos devem ser concebidos de modo a permitir ao aluno
agir, se expressar, refletir e evoluir, podendo ele então adquirir novos conhecimentos.
Na Figura 2, temos a construção do H_Triângulo. Essa construção foi realizada pelo
Figura 2 – Construção do H_Triângulo
Após a construção da 14ª atividade, percebemos que todos os alunos participantes da
pesquisa conseguiram visualizar que a soma dos ângulos internos de um triângulo na
Geometria Hiperbólica é menor que 180º, porém nem todos aceitaram essa Geometria,
ficando ainda fortemente presente a ideia de uma geometria única, aquela fortemente
Considerações Finais
Considerando as dificuldades enfrentadas para a inclusão efetiva das Geometrias não-
euclidianas na Educação Básica, pretendíamos nesse trabalho elaborar atividades de
Geometria Hiperbólica baseadas em Ferreira (2011), e aplicar tais atividades utilizando
o software GeoGebra na formação inicial de professores de matemática.
Nessa pesquisa, pretendíamos analisar se os acadêmicos, ao construírem o triângulo da
Geometria Euclidiana e o H_Triângulo da Geometria Hiperbólica no GeoGebra,
conseguiriam aceitar que na Geometria Hiperbólica a soma dos ângulos internos de um
triangulo não é 180º. Escolheu-se o GeoGebra, por ser um software livre de geometria
dinâmica, bem como por ele estar implantando na rede Paraná Digital, que é um projeto
de inclusão digital das escolas públicas do Estado do Paraná. Este projeto visa
disponibilisar meios educacionais por meio de computadores e da Internet, com o
objetivo de melhorar a qualidade do ensino.
Após as análises das respostas da 14ª atividade, podemos dizer que o GeoGebra foi um
facilitador, já que ele possibilitou que os acadêmicos visualizassem e movessem os
triângulos e observassem a soma dos ângulos internos dos triângulos. Com isso, apenas
2 (dois) alunos não conseguiram aceitar e compreender o H_Triângulo e a soma de seus
Temos que relacionar as aulas de matemática com softwares, como o Geogebra, em
busca de um ensino e aprendizado mais em concordância com as inovações tecnológicas
atuais, desde que estas inovações tragam contribuição para a qualidade de nosso ensino
Referências bibliográficas
BONETE, Izabel P. As Geometrias Não-Euclidianas em Cursos de Licenciatura: Algumas Experiências. Dissertação (Mestrado em Educação) – Unicamp, Campinas, 2000. 240 f. CABARITI, Eliane. Geometria Hiperbólica: uma proposta didática em ambiente informatizado. 131 f. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2004. CALDATTO, Marlova Estela. O processo coletivo de elaboração das Diretrizes Curriculares para a Educação Básica do Paraná e a inserção das Geometrias Não Euclidianas. 261 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática) – Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, 2011. FERREIRA, Luciano. Uma proposta de ensino de Geometria Hiperbólica: “construção do Plano de Poincaré” com o uso do software Geogebra. 293 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática) – Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, 2011. GREENBERG, Marvin Jay. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. 2. ed. California: Santa Cruz, 1973. 400p. LOVIS, Karla Aparecida. Geometria Euclidiana e Geometria Hiperbólica em um Ambiente de Geometria Dinâmica: o que pensam e o que fazem os professores. Dissertação (Mestrado) - Universidade Estadual de Maringá, Paraná 2009. 147f. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, p. 84, 2008.
SANTALO, Luis A. Matemática para não-matemáticos. In: PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Tradução: Juan Acuna Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 2006. SANTOS, Talita Secorun dos. A inclusão das Geometrias não-euclidianas no currículo da Educação Básica. 138 f. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência e Ensino de Matemática) – Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, 2008.
Nosocomial infections are an important source of morbidity and mortality in hospitalized patients. In theintensive care unit (ICU), infections from Candida species are increasingly common and candidemia and isnow the fourth leading cause of bloodstream infection in the surgical ICU (1-4). In spite of their commonoccurrence many as 50% of invasive candidiasis cases go undiagnosed until autopsy
The end of river blindness? people are already infected. The vast majorityof cases (99 per cent) occur in Africa withSightsavers distributed the drugs to infectedover 30 endemic countries on the continent. communities by trained village volunteers whoMore than 300,000 people have already gonehand out the treatment locally. Last year thedevelopment charity helped to protect over23 milli
CONSTRUINDO O TRIÂNGULO HIPERBÓLICO NO SOFTWARE 
parte significativa dos professores de matemática que atuam na Rede Estadual de
Ensino do Paraná não possuem o conhecimento necessário para trabalhar com a
Geometria não-euclidiana. Esses pesquisadores afirmam que as dificuldades do
professor em ensinar/trabalhar com a Geometria não-euclidiana acontece devido a falta
de conhecimento do assunto e de formação necessária.
Considerando toda essa problemática, surgiu a ideia desta pesquisa. Baseados na
pesquisa de Ferreira (2011), elaboramos atividades sobre Geometria Hiperbólica,
utilizando o software GeoGebra, e aplicamos em uma turma de formação inicial em
A importância de se trabalhar a Geometria Hiperbólica no Ensino Médio é ressaltada
pelas DCE. Tal documento aponta que o estudo das noções de Geometrias não-
euclidianas aprofunda-se ao abordar a Geometria dos Fractais, Geometria Hiperbólica e
Neste trabalho, iremos descrever 14 atividades aplicadas aos acadêmicos de matemática
e apresentar as análises da 14ª Atividade: Construindo o H_Triângulo. Baseados nas
DCE, elaboramos a 14ª Atividade que tinha como objetivo principal fazer um
comparativo com a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria Euclidiana
e na Geometria Hiperbólica. Nesse trabalho, pretendíamos investigar como os
acadêmicos aceitariam que ao construir o H_Triângulo a soma dos ângulos internos não
Metodologia 
Geometria Elíptica, a Geometria dos Fractais, a Geometria Topológica, a Geometria
Projetiva e, por fim, a Geometria Hiperbólica.
Como forma de familiarização do sujeito com o software GeoGebra, foram aplicadas
cinco atividades iniciais. A 1ª Atividade tratava da representação do primeiro postulado
de Euclides que diz que: Para todo ponto A e todo ponto B diferente de A, existe uma
única reta a que passa por A e B. A 2ª Atividade tratava do segundo postulado de
Euclides, que diz que: Um segmento retilíneo pode sempre ser prolongado. Já a 3ª
Atividade era a representação do terceiro postulado de Euclides, que diz que: Existe
uma única circunferência com centro e raio dado. Para a 4ª Atividade, ficou a
representação do quarto postulado de Euclides: Todos os ângulos retos são iguais. Na 5ª
Atividade, sugerimos a representação do quinto postulado de Euclides: Se uma reta c
corta duas outras retas a e b (no mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos
interiores (α e β) de um mesmo lado de c é menor que dois retos, então a e b, quando
prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de c. A Figura 1, trata da
ilustração do quinto postulado de Euclides.
Figura 1 – Quinto postulado de Euclides 
P e são paralelas a reta l”. A 13ª Atividade tratou da comprovação desse Axioma
Hiperbólico. Essas duas atividades foram as que os sujeitos mais sentiram dificuldades.
A 14ª Atividade, que tinha como nome Construindo o H_Triângulo, teve como objetivo
propor um comparativo com a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria
Euclidiana e na Geometria Hiperbólica. Existe um teorema da Geometria Euclidiana
que trata acerca da soma dos ângulos internos de triângulos: “A soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo ABC é igual a 180 graus”. Essa atividade visava
mostrar aos acadêmicos que tal teorema não é válido na Geometria Hiperbólica.
Nesse trabalho, iremos analisar/investigar como e se os alunos aceitaram a 14ª
Atividade: Construindo o H_Triângulo, ou seja, se eles aceitaram que ao construir o
H_Triângulo a soma dos ângulos internos não é 180º.
Para a análise dos dados coletados, codificamos os participantes da pesquisa. Como o
número de participante foi um total de 16, temos então os participantes codificados de 1
a 16, ou seja, A.1 (aluno um) para as respostas do primeiro participante, A.2 (aluno
dois) para o segundo participantes,., A.16 (aluno dezesseis). Essa codificação foi
realizada de maneira aleatória. Vale lembrar que cada participante teve a mesma
Analisando a atividade H_Triângulo 
oportunidade de calcular qual a soma dos ângulos internos de um triângulo na
Geometria Euclidiana e um H_Triângulo na Geometria Hiperbólica. O software
GeoGebra possibilitou que eles pudessem movimentar as figuras e comparar os
Não estipulamos um tempo máximo para realização, visto que cada acadêmico
participante já tinha constituído certa habilidade em relação ao software GeoGebra, no
Ao término da 14ª Atividade – Construindo o H_Triângulo, os alunos se depararam com
a seguinte questão dada em um questionário: No H_Triângulo a soma dos ângulos
internos é igual a 180º? E no triângulo euclidiano? Como você explica esse
acontecimento? A Tabela 1 indica a análise da questão indagada na Construção do
Buscamos relacionar o número de alunos que chegaram a basicamente uma mesma
resposta. Em seguida, foi realizada a classificação das respostas, de acordo com suas
especificidades. Na Tabela 1 apresentam-se também alguns excertos de respostas dadas
pelos sujeitos. Por fim, na última coluna têm-se os comentários.
Tabela 1 - Análise da questão da Construção do H_Triângulo
1 – No H_Triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º? E no triângulo
euclidiano? Como você explica esse acontecimento?
Respostas dos 
Mesmo os alunos estando familiarizados com o software GeoGebra, eles apresentaram
dificuldade para realizar a 14º atividade. Alguns alunos se mostravam atentos e
motivados, já outros demonstravam certo desinteresse.
Todos os participantes precisaram de ajuda, solicitando aos pesquisadores
esclarecimentos acerca de suas dúvidas, algumas referentes à construção, outras
referentes às teorias que envolviam a construção. O objetivo dessa atividade era
construir um H_Triângulo e verificar a sua soma dos ângulos internos, bem como fazer
o comparativo com o triângulo euclidiano. Para a construção do H_Triângulo, os
acadêmicos utilizaram ferramentas do software e conceitos como eixo, ponto, círculo,
reta tangente, segmento definido por dois pontos, ângulos e vértices. Isso mostra que, ao
se trabalhar com as Geometrias não-euclidianas, é necessário um sólido conhecimento
Essas ferramentas e esses conceitos devem ser concebidos de modo a permitir ao aluno
agir, se expressar, refletir e evoluir, podendo ele então adquirir novos conhecimentos.
Na Figura 2, temos a construção do H_Triângulo. Essa construção foi realizada pelo
Figura 2 – Construção do H_Triângulo 
de inclusão digital das escolas públicas do Estado do Paraná. Este projeto visa
disponibilisar meios educacionais por meio de computadores e da Internet, com o
objetivo de melhorar a qualidade do ensino.
Após as análises das respostas da 14ª atividade, podemos dizer que o GeoGebra foi um
facilitador, já que ele possibilitou que os acadêmicos visualizassem e movessem os
triângulos e observassem a soma dos ângulos internos dos triângulos. Com isso, apenas
2 (dois) alunos não conseguiram aceitar e compreender o H_Triângulo e a soma de seus
Temos que relacionar as aulas de matemática com softwares, como o Geogebra, em
busca de um ensino e aprendizado mais em concordância com as inovações tecnológicas
atuais, desde que estas inovações tragam contribuição para a qualidade de nosso ensino
Referências bibliográficas 
SANTALO, Luis A. Matemática para não-matemáticos. In: PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Tradução: Juan Acuna Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 2006. SANTOS, Talita Secorun dos. A inclusão das Geometrias não-euclidianas no currículo da Educação Básica. 138 f. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência e Ensino de Matemática) – Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, 2008.